回転楕円体（Ellipsoid）のPerrinの式を，p=a/b，に置き換えると，どうなるか
a : 長軸半径
b : 短軸半径
でしたが，その比
p = a/b，または，a = pb
としたらどのような計算式となるのでしょう
・S
\(\Large S = \frac{2}{\sqrt{a^2 - b^2}} \ ln \left( \frac{a + \sqrt{a^2 - b^2}}{b}\right) \)
\(\Large \hspace{20pt} = \frac{2}{\sqrt{p^2b^2 - b^2}} \ ln \left( \frac{pb + \sqrt{p^2b^2 - b^2}}{b}\right) \)
\(\Large \hspace{20pt} = \frac{2}{b \sqrt{p^2 - 1}} \ ln ( p + \sqrt{p^2 - 1}) \)
\(\Large \hspace{20pt} = \frac{2p}{a \sqrt{p^2 - 1}} \ ln ( p + \sqrt{p^2 - 1}) \)
\(\Large \hspace{20pt} = \frac{2p}{a \sqrt{1- (1/p)^2 }} \ ln ( p + \sqrt{p^2 - 1}) \)
ここで，新しい関数，G(p)，を定義して，
\(\Large G(p) \equiv \frac{1}{ \sqrt{p^2 - 1}} \ ln ( p + \sqrt{p^2 - 1}) \)
\(\Large \displaystyle S = \frac{2}{a} p \ G(p) \)
・並進
\(\Large f_{||} = 16 \pi \eta \frac{a^2 - b^2}{(2a^2 - b^2)S - 2a} \)
\(\Large \hspace{20pt} = 16 \pi \eta \frac{p^2b^2 - b^2}{(2p^2b^2 - b^2)\frac{2}{a} \ p G(p) - 2pb} \)
\(\Large \hspace{20pt} = 16 \pi \eta \frac{b^2 (p^2 - 1)}{b^2(2p^2 - 1)\frac{2}{a} \ p G(p) - 2pb} \)
\(\Large \hspace{20pt} = 8 \pi \eta \frac{b (p^2 - 1)}{(2p^2 - 1) \ G(p) - p} \)
\(\Large \hspace{20pt} = \frac{8 \pi \eta b }{\frac{2p^2 - 1}{p^2 - 1} \ G(p) - \frac{p}{p^2 - 1}} \)
\(\Large f_{\bot} = 32 \pi \eta \frac{a^2 - b^2}{(2a^2 - 3b^2)S + 2a} \)
\(\Large \hspace{20pt} = \frac{16 \pi \eta b }{\frac{2p^2 - 3}{p^2 - 1} \ G(p) + \frac{p}{p^2 - 1}} \)
・回転
\(\Large C_{1} = \frac{32 \pi}{3} \eta \frac{(a^2 - b^2) b^2}{2a - b^2 S} \)
\(\Large \hspace{20pt} = \frac{32 \pi}{3} \eta \frac{(p^2b^2 - b^2) b^2}{2pb - b^2 \frac{2}{a} p \ G(p)} \)
\(\Large \hspace{20pt} = \frac{16 \pi}{3} \eta \frac{(p^2 - 1) b^4}{pb - \frac{b}{p} p \ G(p)} \)
\(\Large \hspace{20pt} = \frac{16 \pi}{3} \eta \frac{(p^2 - 1) b^3}{p - G(p)} \)
\(\Large C_{2} = C_{3} = \frac{32 \pi}{3} \eta \frac{a^4 - b^4}{(2a^2 - b^2 )S - 2a} \)
\(\Large \hspace{20pt} = \frac{32 \pi}{3} \eta \frac{p^4 b^4 - b^4}{(2p^2b^2 - b^2 ) \frac{2}{a} p \ G(p) - 2pb} \)
\(\Large \hspace{20pt} = \frac{32 \pi}{3} \eta \frac{(p^4-1) b^4 }{b^2(2p^2 - 1 ) \frac{2}{a} p \ G(p) - 2pb} \)
\(\Large \hspace{20pt} = \frac{16 \pi}{3} \eta \frac{(p^4-1) b^3 }{(2p^2 - 1 ) \ G(p) - p} \)
簡単になった気もしますが．．．．．あまり変わらない気も．．．．
次は，ロッドと楕円体との違い，を考えていきましょう